GAFT

GAFTとは一般随伴関手定理(Generally Adjunction Functor Theorem)のこと、まず名前がかっこいい

題名にある通りにGAFTを示した、ベーシック圏論には付録として載っているので結局示すのは最後の最後になってしまった。

GAFTは知っているだけでも今後の人生に彩りを与える素晴らしい定理なのはまじで間違いない。

ステイトメントを書いておくと圏A,Bと

関手F:A→Bについて

Fが左随伴を持つ(つまり右随伴)ならば極限を保存するは成り立つ

しかしながら、極限を保存するならば左随伴を持つという矢印は厳しくてAは局所小圏で任意のb \in Bについてコンマ圏(b→F)が弱始対象的集合を待っていなければならない(言葉の定義については調べて欲しい)

この定理は代数の圏のほとんどの忘却関手は左随伴を持つことを保証する(代数の圏からの忘却関手は極限を保ちかつ代数の圏は局所小で弱始対象的集合を待つ、例えばGrp→Set , Vect_k → Setなど)つまり、任意の集合から多くの代数構造を入れれることを示している。しゅげぇ

きょうはそれを示たので満足！！！